В 1977 году А.А. Бурыкин закончил филологический факультет ЛГУ им. А.А. Жданова по специальности «русский язык и литература». 

После окончания филологического факультета Алексей Алексеевич был принят стажером-исследователем, а в ноябре 1979 г. зачислен в очную аспирантуру сектора алтайских языков Л0 ИЯ АН СССР по специаль­ности «Языки народов СССР (эвенский язык)».

Во время стажировки и обучения в аспирантуре А.А. Бурыкин успешно занимался изучением эвенского языка, выезжал в длительные научные экспедиции к эвенам Магаданской и Камчатской областей, собрал значительный объем языкового и фольк­лорного материала. 23 марта 1984 года он успешно защитил кандидатскую диссертацию "Категория переходности-непереходности глагола в эвенском языке".

28 июня 2001 году им была защищена докторская диссертация «Язык малочисленного народа в его письменной форме (на материале эвенского языка)», специальность 10.02.19 – теория языка, филологический факультет СПбГУ. 

В 2012 году по результатам защиты 21 октября 2011 г. в Институте восточных рукописей РАН еще одной диссертации «Иноязычная ономастика русских документов XVII–XIX вв., относящихся к открытию и освоению Сибири и Дальнего Востока России, как исторический источник» А.А. Бурыкину была присуждена степень доктора исторических наук.

Поразительно разнообразны были научные интересы Алексея Алексеевича: эвенский язык, фольклор и этнография эвенов, тунгусо-маньчжурские языки и языки алтайской семьи (монгольские, тюркские, корейский), фольклор и этнография народов Сибири, топонимика, история русского языка и памятники древнерусской литературы, поэтика, стилистика и стихосложение, из общелингвистических дисциплин – фонетика, теория письма, морфология, сравнительно-историческое языкознание, семиотика, социолингвистика.

Алексей Алексеевич изучал историю исследования не только Сибири и Дальнего Востока, но и Арктики, писал о географических открытиях вообще. Также интересовался историей авиации и флота во время Великой Отечественной войны.

Будучи полиглотом, в разной степени владел множеством языков — как европейских, так и сибирских и дальневосточных.

Работал ведущим научным сотрудником Словарного отдела ИЛИ РАН, главный научный сотрудник научно-исследовательского отдела хантыйской филологии и фольклористики Обско-угорского института прикладных исследований и разработок. 

В 2020 году за создание цикла работ (в соавторстве с В.А. Поповым) по антропологии родства А.А. Бурыкин был удостоен Премии РАН им. Н.Н. Миклухо-Маклая, присуждаемой «за большой вклад в изучение проблем этнологии и антропологии».

Скончался 16 января 2021 года в Элисте.